12和31的最大公因數(shù)是1。最大公因數(shù)指的是兩個或兩個以上的數(shù)共有因數(shù)中最大的一個，12的因數(shù)1、2、3、4、6、12，31的因數(shù)有1、31。所以，12和31的最大公因數(shù)是1。

　　什么是最大公因數(shù)

　　最大公因數(shù)，也稱最大公約數(shù)、最大公因子，指兩個或多個整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個。a，b的最大公約數(shù)記為（a，b），同樣的，a，b，c的最大公約數(shù)記為（a，b，c），多個整數(shù)的最大公約數(shù)也有同樣的記號。求最大公約數(shù)有多種方法，常見的有質(zhì)因數(shù)分解法、短除法、輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損法。與最大公約數(shù)相對應(yīng)的概念是最小公倍數(shù)，a，b的最小公倍數(shù)記為[a，b]。

　　最大公因數(shù)的求法

　　1、質(zhì)因數(shù)分解法：把每個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有質(zhì)因數(shù)提取出來連乘，所得的積就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。

　　2、短除法：短除法求最大公約數(shù)，先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商互質(zhì)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來，所得的積就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。

　　3、更相減損法：也叫更相減損術(shù)，是出自《九章算術(shù)》的一種求最大公約數(shù)的算法，它原本是為約分而設(shè)計的，但它適用于任何需要求最大公約數(shù)的場合。